MAKALAH EKSPONEN

KATA PENGANTAR

            Syukur Alhamdulillah kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah mengantar manusia dari alam kegelapan ke alam terang benderang.

Makalah ini kami buat untuk memenuhi tugas kami, untuk itu salam terima kasih kami ucapkan untuk dosen pembimbing yang telah membimbing kami dalam membuat makalah ini. Dan tak lupa juga terima kasih buat teman- teman yang telah ikut memberi semangat pada kami.

Kami menyadari makalah ini masih terdapat kekurangan dan kekhilafan. Oleh karena itu kepada para pembaca, penulis mengharapkan kritik dan saran konstruktif demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini benar- benar  bermanfaat bagi para mahasiswa dan masyarakat umumnya. Amin ya robbal Alamin.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR……………………………………………………………………….. DAFTAR ISI…………………………………………………………………………………. BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………………………… A.    Latar Belakang………………………………………………………………………… BAB II PEMBAHASAN……………………………………………………………………. A.    Fungsi Eksponen………………………………………………………………………. B.     Fungsi Logaritma……………………………………………………………………… C.     Sistem Persamaan Dan Tidak Persamaan Kuadrat Dan Variabel…………………….. BAB III PENUTUP…………………………………………………………………………. A.    Kesimpulan…………………………………………………………………………… DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………….

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Dalam ilmu pengetahuan dan teknologi maupun kehidupan sehari- hari, fungsi eksponen dan logaritma seringkali digunakan untuk mendiskripsikan suatu peristiwa pertumbuhan maupun peluruhan. Misalnya uang yang diinvestasikan di sebuah bank, peluruhan zat radioaktif, pertambahan penduduk dan lain sebagainya. Hal ini dikarenakan logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen. Logaritma juga digunakan untuk memecahkan masalah eksponen yang sulit dicari akar-akar atau penyelesainnya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      FUNGSI EKSPONEN

Persamaan pangkat atau eksponen adalah persamaan yang memuat variabel dalam pangkatnya.

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang didefinisikan

f : x        a^x, dengan a > 0, a  1dan x  R (himpunan bilangan real). Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x dengan tunggal ke bilangan real positif a^x.

Fungsi eksponen f : x        a^x dinyatakan dalam bentuk f(x) = a^x. sedangkan persamaan fungsi eksponen dinyatakan dalam bentuk y = a^x, dengan daerah asal (domain) dari f adalah D_f = {x  - < x < +, x  R }, dan daerah hasil (range) dari f adalah R_f = {y   y >0, y  R}.

Konsep Eksponen

Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri.

Masalah-1.1

Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri pada akhir 8 jam.

Alternatif Penyelesaian

Diketahui:

Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam. Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.

Ditanya:

• Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.
• Berapa jumlah bakteri pada akhir 8 jam.

Jawab:

Masalah-1.2

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak garis lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Alternatif Penyelesaian

Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak garis lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Masalah-1.3

Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah:

1) 1 jam?

2) 2 jam?

3) 3 jam?

4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal!

5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.

2. Pangkat Bulat Negatif

3. Pangkat Nol

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

5. Pangkat Pecahan

Sifat-sifat  Eksponen

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :
Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

Contoh:
Ubahlah bentuk ini dalam bentuk pangkat positif :

Jawab:

1.      contoh soal  Fungsi Eksponen

a.       a^f(x)= 1, jika a > 0, a = 1, maka f(x) = 0

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3^{2x – 1} = 1

penyelesaian :

3^{2x – 1} = 1  3^{2x – 1} = 3⁰

                     2x – 1 = 0

                           2x = 1

                             x =  , jadi himpunan penyelesaiannya adalah {  }

b.      a^f(x)= a^p,  jika a > 0, a  1 dan a^f(x) = a^p , maka f(x) = fungsi aljabar p,  R

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 2^{x2 – 5x} = 2⁶

penyelesaian :

                          2^{x2 – 5x}   = 2⁶  x² – 5x = 6

                x² – 5x – 6    = 0

               (x - 6) (x + 1) = 0

                  x = 6 atau x = -1,

 jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1, 6 }

c.       f(x)^g(x)= 1, f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu:

1)      g(x) = 0

2)      f(x) = 1

3)      f(x) = -1,  g(x) = genap

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (2x - 5)^{x2- x – 2} = 1

penyelesaian :

1)      g(x) = 0  (2x - 5)^{x2- x – 2} = 0

   (x - 2)(x + 1) = 0

  x = 2 atau x = - 1

2)      f(x) = 1  2x – 5 = 1

2x = 6

  x = 3

3)          f(x) = - 1

2x – 5 = - 1

      2x = 4

        x = 2, harus diuji dulu

   g(2) = 2² – 2 – 2 = 0 (genap)

jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1, 2, 3}

d.      a^f(x)= a^g(x), jika a > 0, a  1 dan a^f(x) = a^g(x), maka f(x) = g(x)

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 27^{2x – 5} = 243^{x – 4}

penyelesaiannya :

27^{2x – 5} = 243^{x – 4}  (3³)^{2x – 5} = (3⁵ )^{x – 4}

3^{6x – 15} = 3^{5x – 20}

         6x – 15 = 5x – 20

      x = -5,

      jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -5 }

e.       h(x)^f(x)= h(x)^g(x), f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu :

1)      f(x) = g(x)

2)      h(x) = 1, karena 1 ^f(x) = 1 ^g(x)

3)      h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai ganjil

4)      h(x) = 0 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (x² – 9x + 19)^{2x + 3} = (x²– 9x + 19)^{x – 1}

Penyelesaiannya :

1)      2x + 3 = x – 1

2x – x = -1 – 3

        x = - 4

2)      h(x) = 1  x² – 9x + 19 = 1

   x² – 9x + 18 = 0

  (x - 6) (x - 3) = 0

    x = 6 atau x = 3

3)      h(x) = -1  x² – 9x + 19 = -1

    x² – 9x + 20 = 0

    (x - 5) (x -4) = 0

      x= 5 atau x = 4

Kedua nilai x ini harus diuji dengan mensubtitusikan ke dalam f(x) dan g(x).

-          untuk x = 5 didapat :

f(x) = f(5) = 2(5) + 3 = 13 (ganjil)

g(x) = g(5) = 5 – 1 = 4 (genap)

jadi x = 5 bukan penyelesaian karena (-1)¹³  (-1)⁴

-          untuk x = 4 didapat :

f(x) = f (4) = 2(4) + 3 = 11 (ganjil)

g(x) = g(4) = 4 – 1 = 3 (gnjil)

jadi x = 4 merupakan penyelesaian

4)      h(x) = 0  x² – 9x + 19 = 0

jika  x =  atau x =

kedua nilai ini juga harus diuji dengan mensubtitusikannya ke dalam f(x) dan g(x)

-          untuk x =  didapat :

      f(x) =f () = 2() + 3 (positif)

      g(x) = g () =   - 1 (positif)

      jadi x =  merupakan penyelesaian

-          untuk x =  didapat

f(x) =f () = 2() + 3 (positif)

 g(x) = g () =   - 1 (positif)

jadi, x =  merupakan penyelesaian

dari a, b, c, d maka himpunan penyelesaiannya adalah { -4, 3, 4, 6,  , }

f.       f(x) ^h(x) = g(x)^h(x) . f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan  memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu:

1)      f(x) = g(x)

2)      h(x) = 0, g(x) , f(x)  0

contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (x² + 2x – 4 )^{x2 – 4}= (2 – 2x – x²)^{x2 – 4}

Penyelesaian :

1)                 f(x) = g(x)

(x² + 2x – 4 ) = (2 – 2x – x²)

  2x² + 4x – 6 = 0 (disederhanakan)

    x² + 2x – 3 = 0

 (x - 1)(x + 3) = 0

    x= 1 atau x = - 3

2)      x²– 4 = 0

            x² = 4

            x =  2  diuji

            x = 2  (2)² + 2. (2) – 4 = 4 ( 0)

            x = -2  (-2)² + 2.(- 2) – 4 = - 4 ( 0)

            jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -3, -2, 1, 2}

g.      A(a^f(x))²+ B(a^f(x)) + c = 0, a > 0, dan a  1. Ditentukan dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat.

Contoh :

tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3^{2x + 1} – 8 . 3^x – 3 = 0

penyelesaian :

3^{2x + 1} – 8 . 3^x – 3 = 0  3. 3^2x – 8 . 3^x – 3 = 0

  3. (3² )^x – 8 . 3^x– 3 = 0

Misalkan: 3^x= p, maka persamaan tersebut menjadi

     3p² – 8x – 3 = 0

(3p + 1) (p - 3) = 0

   P = -  atau p = 3,

diuji p = -   3^x = - , (tidak ada x yang memenuhi)

diuji p = 3  3^x = 3

        x = 1

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}

B.      FUNGSI LOGARITMA

Bentuk eksponen atau perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

Jika a^b = c dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka ^alog c = b   dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan. Logaritma memuliki sifat-sifat sebagai berikut :

3.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika a^y = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =^alog x

mempunyai sifat-sifat :

1. semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
3. untuk x=1 maka y=o
4. untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.

3.2. Grafik Fungsi y =^alog x untuk a >0

mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

1. untuk semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
3. untuk x=1 maka y=0
4. untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

Berikut ini gambar grafiknya :

Pengertian  Logaritma

1. Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
   Rumus dasar logaritma:

b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c

• Notasi

1. Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log_ba
2. Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a, log a sebagai ganti ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a.
3. Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
4. Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
5. Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x

Konsep Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya.

 

 Bentuk persamaan logaritma pada umumnya belum sederhana. Untuk menyederhanakan persamaan logaritma perlu memperhatikan sifat-sifat logaritma berikut :

Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, bilangan pokok logaritma perlu disamakan dahulu. Nilai penyelesaian yang diperoleh perlu diuji dengan mensubstitusikan ke persamaan semula. Nilai penyelesaian yang menjadi anggota himpunan penyelesaian (HP) adalah yang mengakibatkan :

1. numerus pada persamaan semula bernilai positif.

2. bilangan pokok logaritma pada persamaan semula bernilai positif dan tidak
sama dengan 1 (satu).

Contoh soal dan penyelesaian.:

 Rumus-rumus logaritma dan contoh beserta penyelesainnya

 

Membuktikan rumus logaritma

Rumus logaritma perkalian

Rumus logaritma pembagian

 

Rumus logaritma bilangan berpangkat

C.      SYSTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DAN VARIABEL

Persamaan Linear Satu Variabel

     

Bentuk umum persamaan linear satu variabel

      ax + b = 0 dengan a // 0  dan a , b Є  R

Persamaan inear tidak berubah jika kita :

1. menambah atau mengurangi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama
2. Mengali atau membagi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama

Contoh 1 :

Harga x yang memenuhi persamaan 2x – 6 = 4

Jawab :

      2x – 6 = 4

2x – 6 + 6 = 4 + 6 ( Tambahkan ruas kiri dan kana dengan 6 )

            2x = 10

       2x : 2 = 10 : 2 ( Bagilah ruas kiri dan kanan dengan 2 )

              x = 5

Jadi Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {5}

Contoh 3:

Berapakah harga yang harus dipasang oleh seorang pedagang buku yang harga belinya Rp. 60.000,00 agar dapat memberikan potongan 20% dan masih mendapatkan untung 25%

Jawab

Misal x adalah harga yang harus dipasang , maka harga jual = x – 0,20x = 0,8x

karma untung 25% dari harga jual, maka

harga beli = 75 % harga jual

60.000 = 0,75 ( 0,8 x )

60.000 = 0,6 x

x = 60.000/0,6

Jadi harga yang harus dipasang adalah Rp. 100.000,00

Pertidaksamaan Linear

Pertidak samaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat ditulis dalambentuk  notasi himpunan atau dengan garis biangan.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyeesaian dari pertidaksamaan di bawah ini !

a. 3x – 1 > 5                                              b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

Jawab :                                                      Jawab :

3x – 1 >5                                                   3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

3x > 5 + 1                                                  3x + 4 ≤ 5 x - 5

3x >6                                                         3x – 5x ≤ -5 – 4

x > 6/3                                                       -2x ≤ -9

x >2                                                           x ≥ 9/2

HP = { x │x > 2,  x Є R }                         HP = { x │x ≥ 9/2,  x Є R }    

A.    Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c Є  R dan a ≠ 0.

a = koefisien x²

b = koefisien x

c = konstanta

Tentukan setiap koefisien variabel x², koefisien variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut:

a. 3x² – 2x + 4 = 0

b. –x² + 5x – 7 = 0

Jawab:

a. 3x² – 2x + 4 = 0                      b. –x² + 5x – 7 = 0

koefisien x² = 3                         koefisien x² = –1

koefisien x = –2                         koefisen x = 5

konstanta = 4                             konstanta = –7

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc.

a. Memfaktorkan

Sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor nol, yaitu:

Untuk setiap p dan q bilangan riil dan berlaku p · q = 0 maka p = 0 atau q = 0

1) Memfaktorkan Jenis ax²+ bx = 0

Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif, yaitu:

ax² + bx = 0

x(ax + b) = 0

Jadi, x = 0 atau ax + b = 0.

Contoh Soal

Selesaikanlah persamaan kuadrat di bawah ini:

a. x² – 5x = 0                                                               b. 4x²+ 3x = 0

Jawab:

a. x² – 5x = 0                                                                 b. 4x² + 3x = 0

x(x – 5) = 0                                                                   x(4x + 3) = 0

x = 0 atau x – 5 = 0                                                        x = 0 atau 4x + 3 = 0

x = 5                                                                             4x = –3  atau x = − 3

                                                                                                                  4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 5}.            Jadi, HP adalah {-− 3  , 0}.

                                                                                                              4

2) Menggunakan Rumus abc

Dalam melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh cara mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus 

Carilah akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan menggunakan Rumus  ABC

X²– 4X – 12 = 0

2.Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar x₁, x₂:

D. Pertidaksamaan Kuadrat

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, dan c Є R dan a ≠ 0.

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. 

Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbeda dengan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada pertidaksamaan linear, Anda dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya. Adapun pada pertidaksamaan kuadrat Anda harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat  x² – 5x – 14 < 0

Jawab:

x² – 5x – 14 < 0

x² – 5x – 14 = 0

(x – 7) (x + 2) = 0

x – 7 = 0 atau x + 2 = 0

x = 7 atau x = –2

4. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

a. Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-Akarnya

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk: (x – x₁) (x – x₂) = 0

b. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x1 dan x2 dan diketahui (x1 + x2) dan (x₁· x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk

x² – (x₁ + x₂)x + (x₁ · x₂) = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.

E. Sistem Persamaan Limear

1. Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

dengan a, b, dan c Є  R.

Dalam menentukan penyelesaian dari SPL, Anda dapat menggunakan beberapa cara berikut ini :

a. grafik;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan grafik

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

membuat garis persamaan pertama dengan cara mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y

Titik potong sumbu x syaratnya y =0             Titik potong sumbu Y syaratnya  x = 0

2x + 3y = 6                                                      2x + 3y = 6

2x + 3.0= 6                                                      2.0 + 3y = 6

2x = 6                                                                     3y   = 6

x = 3                                                                        y    = 2

b. eliminasi;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan eliminasi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

2x + 3y = 6    x 1 => 2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 2  =>2x + 2y = 4      -           

                                           y   = 2

2x + 3y = 6    x 1 => 2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 3  =>3x + 3y = 6      -           

                                      - x      = 0

                                            x  = 0

Jadi Himpunan penyelesaianya adalah { 0 , 2 }

c. substitusi;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan subtitusi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

x + y = 2

x = 2 – y

subtitusikan kepersamaan 2x + 3y = 6

                                          2(2 – y ) + 3y = 6

                                          4 – 2y + 3y = 6

                                          4 + y = 6

                                          y = 6 – 4

                                          y = 2

subtitusikan kepersamaan x = 2 – y

                                          x = 2 – 2

                                          x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 , 2 }

d. gabungan (eliminasi dan substitusi);

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan eliminasi - subtitusi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

2x + 3y = 6    x 1  =>2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 2  =>2x + 2y = 4      -           

                                           y   = 2

subtitusikan kepersamaan  x + y = 2

                                           x + 2 = 2

                                           x = 2 – 2

                                           x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 , 2 }

BAB III

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

       Setelah membuat dan mempelajari makalah ini kami dapat menyimpulkan beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi eksponen dan logaritma, antara lain :

Sifat- Sifat Fungsi Eksponen

a^f(x) = 1, jika a > 0, a = 1, maka f(x) = 0

a^f(x) = a^p,  jika a > 0, a  1 dan a^f(x) = a^p , maka f(x) = fungsi aljabar p,  R

f(x)^g(x) = 1, f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu:

g(x) = 0

f(x) = 1

f(x) = -1,  g(x) = genap

a^f(x) = a^g(x), jika a > 0, a  1 dan a^f(x) = a^g(x), maka f(x) = g(x)

h(x)^f(x)= h(x)^g(x), f(x), g(x) fungsi aljabar, dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa kemungkinan, yaitu :

f(x) = g(x)

h(x) = 1, karena 1^f(x) = 1 ^g(x)

h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai ganjil

h(x) = 0 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif

DAFTAR PUSTAKA

http://outsiders17.blogspot.co.id/2009/12/blog-post.html

https://www.google.com/search?q=eksponen&ie=utf-8&oe=utf-8#q=Konsep-konsep+logaritma

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: