BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan datang (Semiawan, 1991 : 35).
B. Rumusan Masalah
A. Sistem Persamaan Linier
B. Sistem Persamaan Kuadrat
C. Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
D. Penerapan dari Sistem Perasamaan Linier, Sistem Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
C. Tujuan
Menguraikan Penerapan dari Sistem Perasamaan Linier, Sistem Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
BAB II
PEMBAHASAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.
Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah
Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan bukanlah persamaan linear.
Contoh
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:
,
,
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.
Bentuk Umum
dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- yadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.
Bentuk standar
Di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila adan b adalah nol.
Bentuk titik potong gradient
Sumbu-y
Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.
Sumbu-x
Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan cadalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
B. PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut :
ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c є R
Perhatikan beberapa fungsi kuadrat berikut ini:
a. f(x) = 3x2 + 2x + 5
b. f(x) = 2x2 + 3x
c. f(x) = x2 – 4
Jika semua fungsi kuadrat di atas bernilai nol, atau f(x) = 0, maka fungsi kuadrat tersebut menjadi
1. 3x2 + 2x + 5 = 0
2. 2x2 + 3x = 0
3. x2 – 4 = 0
Fungsi kuadrat yang demikian disebut persamaan kuadrat. Contoh :
1. Persamaan kuadrat lengkap
2x2 – 3x + 4 = 0 dan x2– x – 1 =0
2. Persamaan kuadrat tidak lengkap
3x2 + x = 0, x2– x = 0, dan –x2 – 25 = 0
1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, setelah difaktorkan, misalnya diperoleh
(x – x1) (x – x2) = 0
↔ x = x1 atau x = x2
Dalam hal ini x1 atau x2merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas. Hal tersebut menggambarkan suatu ketentuan bahwa (x – x1) (x – x2) = 0 dipenuhi oleh x = x1 atau x = x2
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat 2x2 + 6x = 0 dengan memfaktorkan !
Penyelesaian :
2x2 + 6x = 0
↔ 2x (x + 3) = 0
↔ 2x = 0 atau x + 3 = 0
↔ x = 0 atau x = -3
Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah x1 = 0 atau x2 = -3
2. Bentuk Kuadrat Sempurna
Contoh kuadrat sempurna dua pusat x antara lain x2, 4x2, 9x2, 16x2, 25x2, (9x + 3)2 dan (x – 4)2.
Selanjutnya kita pelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk (x + p)2= q dengan q ≥ 0, yaitu persamaan kuadrat yang ruas kirinya merupakan kuadrat sempurna. Contoh :
1. x2 – 9 = 0
↔ x2 = 9
↔ x = ± √9
↔ x = ± 3
↔ x = 3 atau x = -3
Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah x1 = 3 atau x2 = -3
3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c є R dan x є R , dengan b2– 4ac ≥ 0 Rumus ini disebut rumus abc.
Catatan:
Sebelum memakai rumus abc, persamaan kuadrat harus dinyatakan dalam bentuk baku yaitu: ax2 + bx + c = 0, jika b2 – 4ac < 0, maka tidak ada penyelesaian untuk ax2+ bx + c = 0.
Contoh:
Dengan menggunakan rumus abc tentukan penyelesaian dari x2 – x – 6 = 0, dengan x peubah pada bilangan real !
Penyelesaian:
x2 – x – 6
a = 1, b = 1, c = -6
atau
Jadi x1 = -3 atau x2= 2
Catatan :
1. Jika nilai b2 – 4ac > 0 maka x memiliki dua nilai real yang berlainan
2. Jika nilai b2 – 4ac = 0 maka x memiliki satu nilai real
3. Jika nilai b2 – 4ac < 0 maka x tidak memiliki nilai real.
C. PERSAMAAN DUA VARIABEL
Sebelum mempelajari Persamaan Dua Variabel tentunya kita sudah ingat tentang persamaan Linier Satu Variabel (PLSV). PLSV adalah persamaan yang memuat satu variabeldan pangkat dari variabelnya adalah satu.
Nah sekarang coba kita ingat kembali bahwa persamaan garis lurus pada bidang cartesiusdapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b 0 dan x, y adalah variabel pada himpunan bilangan real.
Sekarang perhatikan persamaa x + 4y = 8, memiliki dua variabel yaiti x dan y serta masing-masing variabel berpangkat satu.
Jadi kesimpulannya adalah Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c R, a, b 0 dan x, y suatu variabel.
Beberapa contoh PLDV
1. 3x + 6y = 12
2. 5p – 3q + 30 = 0
1. Menentukan Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel
Perhatiakan persamaan x + y = 7. Persamaan x + y = 7 masih merupakan kalimat terbuka , artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika x diganti bilangan 2, maka nilai y yang memenuhi adalah 5, karena pasangan bilangan (2,5) memenuhi persamaan tersebut, maka persamaaan x + y = 7 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (2,5) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 7.
Untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 7 akan lebih mudah dengan membuat table seperti berikut :
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Y | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
| (x,y) | (0,7) | (1,6) | (2,5) | (3,4) | (4,3) | (5,2) |
Jadi HP dari persamaan x + y = 7 adalah (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2). Gambar grafik persamaan x + y = 7 pada bidang cartesius tampak seperti gambar grafik lihat lampiran gambar grafik 1.1
2. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier dua variabel, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu penyelesaian
Berikut ini beberapa contoh SPLDV :
1. x + y = 3 dan 2x 3y = 1
2. 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x 2y = 4
Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
Himpunan penyelesaian SPLDV dapat di selesaikan dengan 3 cara, yaitu :
1. Dengan cara metode grafik.
2. Dengan cara metode substitusi.
3. Dengan cara metode eleminasi.
Himpunan penyelesaian SPLDV dengan metode grafik
Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari SPLDV adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik, maka himpunana penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode grafik langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius.
2. Koordinat titik potong dari garis merupakan himpunan penyelesaian, jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar), maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian.
Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Substitusi
Pada metode substitusi terlebih dahulu kita menyatakan variabel yang satu kedalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menggantikan variabel itu dalam persamaan yang lain.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode substitusi langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Menyatakan variabel dalam variabel lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya.
2. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain.
3. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12
x + 2y = 4 kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4 2y substitusikan x = 4 2y ke persamaan 3x + 2y = 12
3 ( 4 2y ) + 2y = 12
12 6y + 2y = 12
4y = 12 12
y = 0
Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 2y
x = 4 2y
x = 4 2 . 0
x = 4
Jadi HP ( 4, 0 )
Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan metode Eleminasi
Pada metode eleminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV, caranya dengan menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan tersebut. Pada cara eleminasi koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode eleminasi langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Nyatakan ke dua persamaan ke bentuk ax + by = c
2. Samakan koefisien dari variabel yang akan di hilangkan, melalui cara mengalihkan dengan bilangan yang sesuai.
3. Jika koefisien dari variabel bertanda sama ( sama positif atau negative ) maka kurangkan ke dua persamaan tersebut.
4. Jika koefisien dari variabel yang di hilangkan tandanya berbeda ( positif atau negative ) maka jumlahkan kedua persamaan tersebut.
D. PENERAPAN SISTEM LINIER, KUADRAT DAN DUA VARIABEL
1. Persamaan Linier
Contoh Soal 1
Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?
Penyelesaian:
Kita misalkan harga 1 kg mangga = x dan harga 1 kg apel = y, maka:
2x + y = 15000
x + 2y = 18000
Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka:
=> y = (2 . 18000 – 15000.1)/(2.2 – 1.1)
=> y = (36000 – 15000)/(4 – 1)
=> y = 21000/3
=> y = 7000
Substitusi nilai y = 7000 ke persamaan 2x + y = 15000, maka:
=> 2x + y = 15000
=> 2x + 7000 = 15000
=> 2x = 8000
=> x = 4000
Dengan demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp7.000,00.
Harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah:
= 5x + 3y
= 5.4000 + 3.7000
= 20000 + 21000
= 41000
Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp 41.000,00
2. Persamaan Kuadrat
Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat
Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah
PembahasanDengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t2+ 20t + 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t= 3 ke dalam persamaan tersebut.
Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,
Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah adalah 4,28 detik.
3. Dua Variabel
Contoh soal:
1. Dua tahun yang lalu seorang laki-laki umurnya 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian umurnya akan menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!
Penyelesaian:
Misalkan umur ayah sekarang x tahun dan umur anaknya y tahun, maka
x – 2 = 6( y – 2 )
x – 6y = -10………… (1)
x + 18 = 2(y + 18 )
x – 2y = 18 ………… (2)
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
x – 6y = -10
x – 2y = 18 –
-4y = – 28
y = 7
subtitusikan nilai y = 7 ke dalam persaman x – 2y = 18, maka diperoleh
x – 2(7) = 18
x – 14 =18
x = 32
jadi, sekarang umur ayah 32 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.
2. Keliling sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang adalah 48 m. panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya. Tentukan ukuran tanah itu!
Penyelesaian
Misalnya panjang dan lebar tanah itu adalah x m dan y m.
Keliling = 2( panjang + lebar)
48 = 2(x + y) atau x + y = 24 ……….(1)
x = y + 6 atau x – y = 6 ……….(2)
dari persamaan (1) dan (2) dapat diperoleh
x + y = 24
x – y = 6 –
2x = 30
x = 15
subtitusikan x = 15 ke dalam persamaan x + y = 24, sehingga diperoleh
15 + y = 24
y = 24 – 15
y = 9
jadi, ukuran tanah itu adalah 15 m x 9 m.
3. Harga sebuah buku dan sebuah pensil RP 5.500,- harga 2 buku dan 3 buah pensil RP 12.500,-.
a. Nyatakan kalimat diatas dalam bentuk persamaan dengan peubah x dan y!
b. Selesaikan persamaan itu!
c. Tentukan harga 4 buah buku dan 3 buah pensil!
Penyelesaian:
a. Misalkan harga sebuah buku = x,rupiah
Harga sebuah pensil =y, rupiah
Maka persamaan dalam x dan y adalah
x + y = 5.500 …..(1)
2x + 3y = 12.500 …..(2)
b. Menyelesaikan persamaan diatas dengan disubtitusikan
x + y = 5.500
x = 5.500 – y
subtitusikan x = 5.500 – y ke persamaan 2
untuk x = 5.500 – y → maka 2x + 3y = 12.500
2(5.500 – y) + 3y = 12.500
11.000 – 2y + 3y = 12.500
11.000 + y = 12.500
y = 12.500-11.000
y = 1.500
subtitusikan y = 1.500 ke persamaan x = 5.500 – y
x = 5.500 – 1.500
x = 4.000
jadi nilai x dan y adalah Rp. 4.000 dan Rp. 1.500
c. Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil
= 4x + 3y
= 4(Rp.4.000,-) + 3(Rp. 1.500,-)
= Rp. 16.000,- + Rp. 4.500,-
= Rp. 20.500,-
Jadi, harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp. 20.500,-
BAB III
KESIMPULAN
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus D=b2−4ac
Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c R, a, b 0 dan x, y suatu variabel.
DAFTAR PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear
https://b3sm4rt.wordpress.com/2010/12/30/persamaan-kuadrat/
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Tujuan
BAB II PEMBAHASAN
A. Sistem Persamaan Linier
B. Sistem Persamaan Kuadrat
C. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
D. Penerapan Sistem Linier, Kuadrat Dan Dua Variabel
BAB III KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
MAKALAH
PENERAPAN SISTEM LINIER, KUADRAT DAN DUA VARIABEL
OLEH
NAMA KELOMPOK
v DENI PANTAMA
v M. ABDUL AZIZ
v L. AGAM
v ERNI SUKMA
0 Response to "MAKALAH PERSAMAAN LINIER"
Post a Comment