MAKALAH
HIMPUNAN RELASI DAN FUNGSI
DOSEN PEMBIMBING :
Drs Krisdianto, M.PD
DISUSUN OLEH :
1.Ismoyo Inggit Nugroho (1752000100)
2. Lina maryana (1752000108)
3. Nabila Bunnanditya (1752000092)
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
TAHUN PELAJARAN 2017/2018
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah matematika tentang Himpunan relasi dan fungsi.
Makalah matematika ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah Matematika tentang Himpunan Relasi dan
Fungsi dapat bermanfaat bagi pembaca.
Sukoharjo, 14 oktober 2017
Penyusun
A. Himpunan
1. Definisi Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal-hal lain tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.
Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … }
Contoh :
A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A.
2. Penulisan Himpunan
a) Bentuk Enumerasi
yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan diantara dua kurung kurawal.
Contoh :
A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama.
B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.
C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.
b) Notasi Pembentuk Himpunan
yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.
Contoh :
A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.
B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.
C = { x | 10 < x < 20 , x bilangan prima }.
c) Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran.
Contoh :
3. Jenis – jenis Himpunan
a) Himpunan koson
himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}
b) Himpunan semesta
himpunan yang memuat semua objek-objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S.
c) Himpunan Bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika
setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dinotasikan dengan :AcB
artinya A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.
artinya A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.
Contoh:
A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka AcB
d) Himpunan kuasa (Power Set)
adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.
Contoh :
S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }
e) Himpunan tak hingga
adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak
terhingga atau tidak terbatas.
Contoh:
A = { x | x adalah bilangan asli }
4. Operasi Himpunan
a) Gabungan (Union)
Himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.
Notasi : A U B dibaca A union B.
Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g } maka A U B = { a, b, c, d, e, f, g }
b) Irisan
Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari angota-angotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu angota-angota yang termasuk A dan juga termasuk B.
Notasi : A∩B yang dibaca ”A irisan B”
Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = { c, d, e,f } maka A∩B = { c, d }
c) Selisih
Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.
Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B”
Contoh :
A = { 1, 3, 5, 7, 8 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } maka A – B = { 5, 7, 8 }
d) Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen
yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta “S” dan A.
Notasi : AC = { x |x ∉ A } atau AC = { x | x S ; S ∉ A }. AC dibaca A komplemen.
Contoh :
S = { 1, 2, . . . 9 } dan A = { bilangan ganjil kurang dari 9 }
maka Ac = { 2, 4, 6, 8 }.
e) Hasil kali Cartesius
Hasil kali dua himpunan A dan B dimana semua pasangan berurutan dengan xEA dan yEB dan dinyatakan dengan A x B.
Notasi : A x B = {(x,y) |xEA dan yEB}
Contoh :
A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)
5. Sifat – sifat Himpunan
a) Sifat identitas:
· A ∪ ∅ = A
· A ∩ U = A
b) Sifat dominasi:
· A ∩ ∅ = ∅
· A ∪ U = U
c) Sifat komplemen:
· A ∪ A = U
· A ∩ A = ∅
d) Sifat idempoten:
· A ∪ A = A
· A ∩ A = A
·
e) Sifat involusi:
· (A= A)
f) Sifat absorpsi:
· A ∪ (A ∩ B) = A
· A ∩ (A ∪ B) = A
g) Sifat komutatif:
· A ∪ B = B ∪ A
· A ∩ B = B ∩ A
h) Sifat asosiatif:
· A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
· A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
i) Sifat distributif:
· A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
· A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
j) Sifat komplemen
· ∅ = U
· U = ∅
B. Relasi dan Fungsi
A. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Ria, Rian, Reni, dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:
Ria dan Rian memilih musik pop.
Rian dan Reni memilih musik rock.
Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.
Jika A = {Ria, Rian, Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”.
Ria dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop, rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan jazz, berarti Revi menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan dengan jelas pada gambar dibawah ini.
1. Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Tias, Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata:
Tias, Jamal, dan Farid memilih permainan voli.
Jamal dan Farid memilih permainan basket.
Farid dan Dika memilih permainan tenis.
Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.
a. Nyatakan dengan diagram panah,
b. Nyatakan dengan diagram cartesius
c. Nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.
Jawab :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan Pasangan Berurutan.
{(Tias, Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)}
B. Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil (range).
Contoh :
Hardi adalah anak Pak Manan, Nanda anak Pak Udin, Indri dan Aldi anak Pak Drajat. Jika himpunan A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B = {Manan, Udin, Drajat}. Terdapat relasi anak dari himpunan A ke himpunan B, fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Menyatakan Fungsi
Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
KESIMPULAN
Himpunan sebagai suatu kumpulan dari objek - objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek objek dari himpunan didefinisikan dengan jelas, dimaksudkan suatu objek dapat ditentukan dengan pasti untuk masuk dalam himpunan tersebut atau tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Suatu himpunan dapat dituliskan dengan tiga cara :
a. Enumerasi
b. Notasi pembentuk himpunan
c. Diagram venn
Himpunan dapat dibedakan menjadi lima macam yaitu :
a. Himpunan kosong
b. Himpunan semesta
c. Himpunan bagian
d. Himpunan kuasa (power set)
e. Himpunan tak hingga
Relasi
Jika A dan B himpunan yang diketahui dan ditentukan suatu relasi R dari A ke B maka relasi R merupakan himpunan bagian A x B. Sedangkan daerah definisi atau domain B dari relasi R adalah himpunan bagian dari A yang terdiri dari semua elemen pertama dari pasangan terurut anggota R. Sedangkan daerah hasil (daerah nilai) atau Rg dari relasi R terdiri dari semua elemen kedua dari pasangan terurut anggota R.
Pernyataan relasi
Suatu relasi R dapat dinyatakan dalam beberapa cara yaitu :
a. Pasangan terurut
b. Diagram panah
c. Diagram kartesius (grafik)
0 Response to "Himpunan Relasi dan Fungsi"
Post a Comment